diff --git a/.translate/state/two_auctions.md.yml b/.translate/state/two_auctions.md.yml new file mode 100644 index 00000000..8e54f039 --- /dev/null +++ b/.translate/state/two_auctions.md.yml @@ -0,0 +1,6 @@ +source-sha: 6e967af4856b8164815524fe56c7df5ce59a6138 +synced-at: "2026-07-18" +model: claude-sonnet-5 +mode: RESYNC +section-count: 13 +tool-version: 0.17.0 diff --git a/lectures/two_auctions.md b/lectures/two_auctions.md index 9a46e029..be246290 100644 --- a/lectures/two_auctions.md +++ b/lectures/two_auctions.md @@ -9,6 +9,23 @@ kernelspec: display_name: Python 3 (ipykernel) language: python name: python3 +translation: + title: 一价和二价拍卖 + headings: + First-price sealed-bid auction (FPSB): 第一价格密封拍卖(FPSB) + First-price sealed-bid auction (FPSB)::Characterization of FPSB auction: 一价密封拍卖的特征 + Second-price sealed-bid auction (SPSB): 二价密封拍卖(SPSB) + Characterization of SPSB auction: 二价密封拍卖的特征 + Uniform distribution of private values: 私人价值的均匀分布 + Setup: 设置 + First price sealed bid auction: 第一价格密封投标拍卖 + Second price sealed bid auction: 第二价格密封拍卖 + Python code: Python代码 + Revenue equivalence theorem: 收入等价定理 + Calculation of bid price in FPSB: FPSB中出价的计算 + $\chi^2$ Distribution: $\chi^2$ 分布 + Code summary: 代码总结 + References: 参考文献 --- # 一价和二价拍卖 @@ -72,8 +89,7 @@ Anders Munk-Nielsen 将他的代码放在了[GitHub](https://github.com/GamEconC - 如果$i$的出价恰好是$v_i$，她支付的正是她认为物品值得的价格，不会获得任何剩余价值。 - 买家$i$永远不会想要出价高于$v_i$。 - -- 如果买家 $i$ 出价 $b < v_i$ 并赢得拍卖，她获得的剩余价值为 $b - v_i > 0$。 +- 如果买家 $i$ 出价 $b < v_i$ 并赢得拍卖，她获得的剩余价值为 $v_i - b > 0$。 - 如果买家 $i$ 出价 $b < v_i$ 而其他人出价高于 $b$，买家 $i$ 就会输掉拍卖且没有剩余价值。 - 要继续进行，买家 $i$ 需要知道她的出价 $v_i$ 作为函数时赢得拍卖的概率 - 这要求她知道其他潜在买家 $j \neq i$ 的出价 $v_j$ 的概率分布 @@ -170,7 +186,6 @@ $$ $$ \begin{aligned} \mathbf{E}(y_{i} | y_{i} < v_{i}) &= \frac{\int_{0}^{v_{i}} y_{i}\tilde{f}_{n-1}(y_{i})dy_{i}}{\int_{0}^{v_{i}} \tilde{f}_{n-1}(y_{i})dy_{i}} \\ - &= \frac{\int_{0}^{v_{i}}(n-1)y_{i}^{n-1}dy_{i}}{\int_{0}^{v_{i}}(n-1)y_{i}^{n-2}dy_{i}} \\ &= \frac{n-1}{n}y_{i}\bigg{|}_{0}^{v_{i}} \\ &= \frac{n-1}{n}v_{i} @@ -189,19 +204,18 @@ $$ import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib as mpl - +FONTPATH = "fonts/SourceHanSerifSC-SemiBold.otf" +mpl.font_manager.fontManager.addfont(FONTPATH) +plt.rcParams['font.family'] = ['Source Han Serif SC'] import seaborn as sns import scipy.stats as stats import scipy.interpolate as interp -# 用于绘图 +# for plots +plt.rcParams.update({'font.size': 14}) colors = plt.rcParams['axes.prop_cycle'].by_key()['color'] -FONTPATH = "fonts/SourceHanSerifSC-SemiBold.otf" -mpl.font_manager.fontManager.addfont(FONTPATH) -plt.rcParams['font.family'] = ['Source Han Serif SC'] - -# 确保笔记本生成相同的随机数 +# ensure the notebook generates the same randomness np.random.seed(1337) ``` @@ -213,31 +227,37 @@ np.random.seed(1337) N = 5 R = 100_000 -v = np.random.uniform(0,1,(N,R)) +v = np.random.uniform(0, 1, (N, R)) -# 第一价格密封拍卖的贝叶斯纳什均衡 +# BNE in first-price sealed bid -b_star = lambda vi,N :((N-1)/N) * vi +b_star = lambda vi, N: ((N-1)/N) * vi b = b_star(v,N) ``` 我们计算并排序在一价密封拍卖（FPSB）和二价密封拍卖（SPSB）下产生的出价分布。 ```{code-cell} ipython3 +# Bidders' values are sorted in ascending order in each auction. +# We record the order because we want to apply it to bid price and their id. idx = np.argsort(v, axis=0) # 在每次拍卖中，竞买人的估值按升序排列。 -# 我们记录这个顺序是因为我们要将其应用于出价价格和竞买人ID。 +# same as np.sort(v, axis=0), except now we retain the idx v = np.take_along_axis(v, idx, axis=0) # 与np.sort(v, axis=0)相同，但保留了idx b = np.take_along_axis(b, idx, axis=0) -ii = np.repeat(np.arange(1,N+1)[:,None], R, axis=1) # 创建竞买人的ID。 +# the id for the bidders is created. +ii = np.repeat(np.arange(1, N+1)[:, None], R, axis=1) # 创建竞买人的ID。 +# the id is sorted according to bid price as well. ii = np.take_along_axis(ii, idx, axis=0) # ID也按照出价价格进行排序。 -winning_player = ii[-1,:] # 在FPSB和SPSB中，最高估值者为赢家。 - -winner_pays_fpsb = b[-1,:] # 最高出价 -winner_pays_spsb = v[-2,:] # 第二高估值 +# In FPSB and SPSB, winners are those with highest values. +winning_player = ii[-1, :] # 在FPSB和SPSB中，最高估值者为赢家。 +# highest bid +winner_pays_fpsb = b[-1, :] # 最高出价 +# 2nd-highest valuation +winner_pays_spsb = v[-2, :] # 第二高估值 ``` 让我们绘制_获胜_出价 $b_{(n)}$（即支付金额）与估值 $v_{(n)}$ 的关系图，分别针对FPSB和SPSB。 @@ -249,8 +269,7 @@ winner_pays_spsb = v[-2,:] # 第二高估值 ```{code-cell} ipython3 # 我们打算计算不同群组投标者的平均支付金额 - -binned = stats.binned_statistic(v[-1,:], v[-2,:], statistic='mean', bins=20) +binned = stats.binned_statistic(v[-1, :], v[-2, :], statistic='mean', bins=20) xx = binned.bin_edges xx = [(xx[ii]+xx[ii+1])/2 for ii in range(len(xx)-1)] yy = binned.statistic @@ -258,8 +277,9 @@ yy = binned.statistic fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4)) ax.plot(xx, yy, label='SPSB平均支付金额') -ax.plot(v[-1,:], b[-1,:], '--', alpha = 0.8, label = 'FPSB解析解') -ax.plot(v[-1,:], v[-2,:], 'o', alpha = 0.05, markersize = 0.1, label = 'SPSB：实际出价') +ax.plot(v[-1, :], b[-1, :], '--', alpha=0.8, label='FPSB解析解') +ax.plot(v[-1, :], v[-2, :], 'o', alpha=0.05, + markersize=0.1, label='SPSB：实际出价') ax.legend(loc='best') ax.set_xlabel('估值, $v_i$') @@ -297,7 +317,6 @@ $$ &= n\mathbf{E_{v_i}}\left[\mathbf{E_{y_i}}[y_{i}|y_{i} < v_{i}]\tilde{F}_{n-1}(v_{i})\right] \\ &= n\mathbf{E_{v_i}}[\frac{n-1}{n} \times v_{i} \times v_{i}^{n-1}] \\ &= (n-1)\mathbf{E_{v_i}}[v_{i}^{n}] \\ - &= \frac{n-1}{n+1} \end{aligned} $$ @@ -309,8 +328,9 @@ $$ ```{code-cell} ipython3 fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4)) -for payment,label in zip([winner_pays_fpsb, winner_pays_spsb], ['FPSB', 'SPSB']): - print('The average payment of %s: %.4f. Std.: %.4f. Median: %.4f'% (label,payment.mean(),payment.std(),np.median(payment))) +for payment, label in zip([winner_pays_fpsb, winner_pays_spsb], ['FPSB', 'SPSB']): + print('The average payment of %s: %.4f. Std.: %.4f. Median: %.4f' % ( + label, payment.mean(), payment.std(), np.median(payment))) ax.hist(payment, density=True, alpha=0.6, label=label, bins=100) ax.axvline(winner_pays_fpsb.mean(), ls='--', c='g', label='Mean') @@ -357,7 +377,7 @@ $$ +++ -在方程{eq}`eq:optbid1`和{eq}`eq:optbid1`中，我们展示了FPSB拍卖中对称贝叶斯纳什均衡的最优出价公式。 +在方程{eq}`eq:optbid1`和{eq}`eq:optbid2`中，我们展示了FPSB拍卖中对称贝叶斯纳什均衡的最优出价公式。 $$ \mathbf{E}[y_{i} | y_{i} < v_{i}] @@ -365,7 +385,6 @@ $$ 其中 - $v_{i} = $ 投标者$i$的价值 - - $y_{i} = $：除了竞标者$i$以外所有竞标者的最大值，即$y_{i} = \max_{j \neq i} v_{j}$ 我们之前已经为私人价值呈均匀分布的情况下分析计算出了FPSB拍卖中的最优出价。 @@ -392,25 +411,37 @@ def evaluate_largest(v_hat, array, order=1): 除获胜者外第二大数的顺序是2。 """ - N,R = array.shape - array_residual=array[1:,:].copy() # 删除第一行，因为我们假设第一行是获胜者的出价 + N, R = array.shape + + # 删除第一行，因为我们假设第一行是获胜者的出价 + array_residual = array[1:, :].copy() # 删除第一行，因为我们假设第一行是获胜者的出价 + + winning_auctions_mask = (array_residual < v_hat).all(axis=0) + + num_winning_auctions = np.sum(winning_auctions_mask) - index=(array_residual