diff --git a/.translate/state/kesten_processes.md.yml b/.translate/state/kesten_processes.md.yml new file mode 100644 index 0000000..5004a9c --- /dev/null +++ b/.translate/state/kesten_processes.md.yml @@ -0,0 +1,6 @@ +source-sha: 13d27c47397e0b1c36175078683e7cbdd528ff0c +synced-at: "2026-07-21" +model: claude-sonnet-5 +mode: RESYNC +section-count: 5 +tool-version: 0.20.0 diff --git a/lectures/kesten_processes.md b/lectures/kesten_processes.md index 1adadd0..098b0b7 100644 --- a/lectures/kesten_processes.md +++ b/lectures/kesten_processes.md @@ -7,6 +7,23 @@ kernelspec: display_name: Python 3 language: python name: python3 +translation: + title: Kesten过程与企业动态 + headings: + Overview: 概述 + Kesten processes: Kesten过程 + 'Kesten processes::Example: GARCH volatility': 示例：GARCH波动率 + 'Kesten processes::Example: wealth dynamics': 示例：财富动态 + Kesten processes::Stationarity: 平稳性 + Kesten processes::Cross-sectional interpretation: 横截面解释 + Kesten processes::Conditions for stationarity: 平稳性条件 + Heavy tails: 重尾 + Heavy tails::The Kesten--Goldie theorem: Kesten--Goldie定理 + Heavy tails::Intuition: 直觉解释 + 'Application: firm dynamics': 应用：企业动态 + 'Application: firm dynamics::Gibrat''s law': Gibrat定律 + 'Application: firm dynamics::Heavy tails': 重尾 + Exercises: 练习 --- ```{raw} jupyter @@ -26,14 +43,15 @@ kernelspec: :depth: 2 ``` +```{include} _admonition/gpu.md +``` + 除了Anaconda中包含的内容外，本讲座还需要以下库： -```{code-cell} ipython ---- -tags: [hide-output] ---- -!pip install quantecon -!pip install --upgrade yfinance +```{code-cell} ipython3 +:tags: [hide-output] + +!pip install --upgrade quantecon yfinance ``` ## 概述 @@ -47,29 +65,17 @@ tags: [hide-output] 虽然Kesten过程的数学形式看起来很简单，但它们在经济学中非常重要，主要有两个原因： 1. 很多关键的经济过程可以用Kesten过程来描述。 -2. Kesten过程能够产生复杂的动态行为，尤其是在某些条件下，它们可以生成带有"重尾"特征的横截面分布，这与我们在现实经济数据中观察到的情况相符。 +2. Kesten过程能够产生复杂的动态行为，尤其是在某些条件下，它们可以生成带有"重尾"特征的横截面分布。 我们接下来会讨论这些问题。 现在我们从一些导入开始： -```{code-cell} ipython +```{code-cell} ipython3 import matplotlib.pyplot as plt -import matplotlib as mpl -FONTPATH = "fonts/SourceHanSerifSC-SemiBold.otf" -mpl.font_manager.fontManager.addfont(FONTPATH) -plt.rcParams['font.family'] = ['Source Han Serif SC'] - -plt.rcParams["figure.figsize"] = (11, 5) #设置默认图形大小 import numpy as np import quantecon as qe -``` - -以下两行仅用于避免pandas和matplotlib之间的兼容性问题导致的`FutureWarning`。 - -```{code-cell} ipython -from pandas.plotting import register_matplotlib_converters -register_matplotlib_converters() +import yfinance as yf ``` 关于本讲座的更多技术细节，读者可以参考{cite}`buraczewski2016stochastic`这本专著。 @@ -106,19 +112,18 @@ GARCH模型在金融应用中很常见，其中时间序列（如资产收益） 例如，考虑以下纳斯达克综合指数从2006年1月1日到2019年11月1日的日收益率图。 (ndcode)= -```{code-cell} python3 -import yfinance as yf -s = yf.download('^IXIC', '2006-1-1', '2019-11-1', auto_adjust=False)['Adj Close'] +```{code-cell} ipython3 +s = yf.download( + "^IXIC", "2006-1-1", "2019-11-1", auto_adjust=False +)["Adj Close"] r = s.pct_change() fig, ax = plt.subplots() - ax.plot(r, alpha=0.7) - -ax.set_ylabel('收益率', fontsize=12) -ax.set_xlabel('日期', fontsize=12) +ax.set_ylabel("收益率", fontsize=12) +ax.set_xlabel("日期", fontsize=12) plt.show() ``` @@ -262,7 +267,7 @@ Kesten过程$X_{t+1} = a_{t+1} X_t + \eta_{t+1}$并不总是具有平稳分布 在某些条件下，Kesten过程的平稳分布具有帕累托尾。 -（参见我们{doc}`之前关于重尾分布的讲座 `。） +（参见我们{doc}`关于重尾的讲座 `以了解背景。） 这个事实对经济学很重要，因为帕累托尾分布在经济现象中广泛存在。 @@ -299,7 +304,7 @@ $$ ### 直觉解释 -稍后我们将通过绘秩-规模图来直观地验证Kesten--Goldie定理的结论。 +稍后我们将通过秩-规模图来直观地验证Kesten--Goldie定理的结论。 在此之前，我们可以对定理条件进行以下直觉性解释。 @@ -323,23 +328,23 @@ $$ μ = -0.5 σ = 1.0 -def kesten_ts(ts_length=100): +def kesten_ts(rng, ts_length=100): x = np.zeros(ts_length) - for t in range(ts_length-1): - a = np.exp(μ + σ * np.random.randn()) - b = np.exp(np.random.randn()) + for t in range(ts_length - 1): + a = np.exp(μ + σ * rng.standard_normal()) + b = np.exp(rng.standard_normal()) x[t+1] = a * x[t] + b return x fig, ax = plt.subplots() num_paths = 10 -np.random.seed(12) +rng = np.random.default_rng(12) for i in range(num_paths): - ax.plot(kesten_ts()) + ax.plot(kesten_ts(rng)) -ax.set(xlabel='时间', ylabel='$X_t$') +ax.set(xlabel="时间", ylabel="$X_t$") plt.show() ``` @@ -386,7 +391,7 @@ s_{t+1} = a_{t+1} s_t + b_{t+1} 其中$\{a_t\}$和$\{b_t\}$都是独立同分布的，且相互独立。 -在练习中，你需要证明{eq}`firm_dynam`中的Gibrat定律比{eq}`firm_dynam_gb`中的更符合上述实证结果。 +在练习中，你需要证明{eq}`firm_dynam`比{eq}`firm_dynam_gb`中的Gibrat定律更符合上述实证结果。 ### 重尾 @@ -431,22 +436,22 @@ s_{t+1} = a_{t+1} s_t + b_{t+1} years = 15 days = years * 250 -def garch_ts(ts_length=days): +def garch_ts(rng, ts_length=days): σ2 = 0 r = np.zeros(ts_length) - for t in range(ts_length-1): - ξ = np.random.randn() + for t in range(ts_length - 1): + ξ = rng.standard_normal() σ2 = α_0 + σ2 * (α_1 * ξ**2 + β) - r[t] = np.sqrt(σ2) * np.random.randn() + r[t] = np.sqrt(σ2) * rng.standard_normal() return r fig, ax = plt.subplots() -np.random.seed(12) +rng = np.random.default_rng(12) -ax.plot(garch_ts(), alpha=0.7) +ax.plot(garch_ts(rng), alpha=0.7) -ax.set(xlabel='时间', ylabel='$\\sigma_t^2$') +ax.set(xlabel="时间", ylabel="$\\sigma_t^2$") plt.show() ``` @@ -549,7 +554,7 @@ $$ :label: kp_ex4 ``` -在如{eq}`firm_dynam`中所述的企业动态模型中，的一个不现实方面是它忽略了企业的进入和退出。 +在如{eq}`firm_dynam`中所述的企业动态模型中，一个不现实的方面是它忽略了企业的进入和退出。 在任何时期和任何市场中，我们都能观察到大量企业进入和退出市场。 @@ -622,42 +627,60 @@ s_init = 1.0 # 每个企业的初始条件 :class: dropdown ``` -这是一种答案。 -首先生成观测值： +这是一种解答。 + +我们需要模拟一个大规模的企业横截面，因此这是使用JAX的一个很好的应用场景。 + +我们将企业参数存储在一个`NamedTuple`中，并将单个企业的更新规则{eq}`firm_dynam_ee`写成一个纯函数。 + +```{code-cell} ipython3 +import jax +import jax.numpy as jnp +from functools import partial +from typing import NamedTuple + + +class Firm(NamedTuple): + μ_a: float + σ_a: float + μ_b: float + σ_b: float + μ_e: float + σ_e: float + s_bar: float + + +def update(s, key, firm): + "在给定一个新的随机密钥的情况下，更新单个企业的规模s。" + a_key, b_key, e_key = jax.random.split(key, 3) + a = jnp.exp(firm.μ_a + firm.σ_a * jax.random.normal(a_key)) + b = jnp.exp(firm.μ_b + firm.σ_b * jax.random.normal(b_key)) + e = jnp.exp(firm.μ_e + firm.σ_e * jax.random.normal(e_key)) + return jnp.where(s < firm.s_bar, e, a * s + b) +``` + +我们使用`lax.scan`对一个企业模拟`T`期，然后使用`vmap`并行运行所有`M`个企业。 + +```{code-cell} ipython3 +@partial(jax.jit, static_argnames=("T", "M")) +def generate_draws(firm, s_init=1.0, T=500, M=1_000_000, seed=0): + keys = jax.random.split(jax.random.PRNGKey(seed), M) + + def sim_firm(key): + step_keys = jax.random.split(key, T) + s_final, _ = jax.lax.scan( + lambda s, k: (update(s, k, firm), None), s_init, step_keys + ) + return s_final + + return jax.vmap(sim_firm)(keys) +``` + +现在我们根据上面的参数构建企业，并生成样本。 ```{code-cell} ipython3 -from numba import jit, prange -from numpy.random import randn - - -@jit(parallel=True) -def generate_draws(μ_a=-0.5, - σ_a=0.1, - μ_b=0.0, - σ_b=0.5, - μ_e=0.0, - σ_e=0.5, - s_bar=1.0, - T=500, - M=1_000_000, - s_init=1.0): - - draws = np.empty(M) - for m in prange(M): - s = s_init - for t in range(T): - if s < s_bar: - new_s = np.exp(μ_e + σ_e * randn()) - else: - a = np.exp(μ_a + σ_a * randn()) - b = np.exp(μ_b + σ_b * randn()) - new_s = a * s + b - s = new_s - draws[m] = s - - return draws - -data = generate_draws() +firm = Firm(μ_a, σ_a, μ_b, σ_b, μ_e, σ_e, s_bar) +data = generate_draws(firm, s_init=s_init, T=T, M=M) ``` 现在来生成秩-规模图： @@ -666,7 +689,7 @@ data = generate_draws() fig, ax = plt.subplots() rank_data, size_data = qe.rank_size(data, c=0.01) -ax.loglog(rank_data, size_data, 'o', markersize=3.0, alpha=0.5) +ax.loglog(rank_data, size_data, "o", markersize=3.0, alpha=0.5) ax.set_xlabel("对数秩") ax.set_ylabel("对数规模") @@ -676,4 +699,4 @@ plt.show() 该图呈现出一条直线，符合帕累托尾的特性。 ```{solution-end} -``` +``` \ No newline at end of file