From 2707b0b53efcba68ed1174bc873136a726f9c11b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: XYshi725 <2022451192@qq.com> Date: Tue, 20 May 2025 15:07:43 +0800 Subject: [PATCH 1/2] Update kesten_processes.md --- lectures/kesten_processes.md | 238 ++++++++++++++++++----------------- 1 file changed, 120 insertions(+), 118 deletions(-) diff --git a/lectures/kesten_processes.md b/lectures/kesten_processes.md index f374f318..4460aad3 100644 --- a/lectures/kesten_processes.md +++ b/lectures/kesten_processes.md @@ -40,18 +40,18 @@ tags: [hide-output] {doc}`之前 ` 我们学习了线性标量值随机过程（AR(1)模型）。 -现在，我们通过允许乘数系数是随机的来稍微推广这些线性模型。 +现在，我们通过允许乘法系数具有随机性，对这些线性模型进行轻微推广。 这些过程被称为Kesten过程，以德裔美国数学家Harry Kesten（1931-2019）的名字命名。 -尽管写起来很简单，但Kesten过程至少有两个有趣的原因： +尽管写起来很简单，但Kesten过程之所以很有趣，至少有两个原因： 1. 许多重要的经济过程可以或已经被描述为Kesten过程。 -1. Kesten过程产生有趣的动态，在某些情况下，包括重尾横截面分布。 +1. Kesten过程能够产生有趣的动态特性，在某些情况下可以生成具有重尾特征的横截面分布。 -我们将在讨论过程中详细说明这些问题。 +我们接下来会讨论这些问题。 -让我们从一些导入开始： +现在我们从一些导入开始： ```{code-cell} ipython import matplotlib.pyplot as plt @@ -79,7 +79,7 @@ register_matplotlib_converters() ```{index} single: Kesten processes; heavy tails ``` -**Kesten过程**是以下形式的随机过程： +**Kesten过程**是一种形式如下的随机过程： ```{math} :label: kesproc @@ -89,15 +89,15 @@ X_{t+1} = a_{t+1} X_t + \eta_{t+1} 其中$\{a_t\}_{t \geq 1}$和$\{\eta_t\}_{t \geq 1}$是独立同分布序列。 -我们感兴趣的是当$X_0$给定时$\{X_t\}_{t \geq 0}$的动态。 +我们感兴趣的是当$X_0$给定时$\{X_t\}_{t \geq 0}$的动态变化。 -我们将关注非负标量情况，其中$X_t$取值于$\mathbb R_+$。 +我们将重点关注非负标量的情况，其中$X_t$的取值范围为$\mathbb R_+$。 特别地，我们假设： * 初始条件$X_0$是非负的， * $\{a_t\}_{t \geq 1}$是非负的独立同分布随机过程，且 -* $\{\eta_t\}_{t \geq 1}$是另一个非负的独立同分布随机过程，与第一个过程独立。 +* $\{\eta_t\}_{t \geq 1}$是另一个非负的独立同分布随机过程，并与第一个过程相互独立。 ### 示例：GARCH波动率 @@ -123,11 +123,11 @@ ax.set_xlabel('日期', fontsize=12) plt.show() ``` -注意该序列如何表现出波动率爆发（高方差）然后又趋于平稳。 +注意该序列如何呈现出波动率爆发（高方差），随后又趋于平稳。 -GARCH模型可以复制这一特征。 +GARCH模型可以复现这一特征。 -GARCH(1, 1)波动率过程的形式为： +GARCH(1, 1)波动率过程的形式如下： ```{math} :label: garch11v @@ -137,7 +137,7 @@ GARCH(1, 1)波动率过程的形式为： 其中$\{\xi_t\}$是独立同分布的，$\mathbb E \xi_t^2 = 1$且所有参数都是正的。 -给定资产的收益率则建模为： +给定资产的收益率可建模为： ```{math} :label: garch11r @@ -145,17 +145,17 @@ GARCH(1, 1)波动率过程的形式为： r_t = \sigma_t \zeta_t ``` -其中$\{\zeta_t\}$也是独立同分布的，且与$\{\xi_t\}$独立。 +其中$\{\zeta_t\}$也是独立同分布的，且与$\{\xi_t\}$相互独立。 -波动率序列$\{\sigma_t^2 \}$，驱动收益率的动态，是一个Kesten过程。 +驱动收益率动态变化的波动率序列$\{\sigma_t^2 \}$是一个Kesten过程。 ### 示例：财富动态 -假设每个家庭在每个时期都将其当前财富的固定比例$s$用于储蓄。 +假设某个家庭在每一期都将其当前财富按固定比例$s$进行储蓄。 -家庭在时间$t$开始时获得劳动收入$y_t$。 +该家庭在时期$t$开始时获得劳动收入$y_t$。 -财富则按照以下方式演化： +其财富则按照以下方式演化： ```{math} :label: wealth_dynam @@ -171,9 +171,9 @@ w_{t+1} = R_{t+1} s w_t + y_{t+1} 在之前的讲座中，如{doc}`AR(1)过程 `，我们引入了平稳分布的概念。 -在当前背景下，我们可以如下定义平稳分布： +在当前背景下，我们可以这样定义一个平稳分布： -$\mathbb R$上的分布$F^*$被称为Kesten过程{eq}`kesproc`的**平稳分布**，如果： +对于Kesten过程{eq}`kesproc`，若满足 ```{math} :label: kp_stationary0 @@ -183,62 +183,64 @@ X_t \sim F^* a_{t+1} X_t + \eta_{t+1} \sim F^* ``` -换句话说，如果当前状态$X_t$具有分布$F^*$，那么下一期状态$X_{t+1}$也具有相同的分布。 +则定义在$\mathbb R$上的分布$F^*$被称为该过程的**平稳分布**。 -我们可以将其写为： +换句话说，如果当前状态$X_t$服从分布$F^*$，那么下一期状态$X_{t+1}$也服从相同的分布$F^*$。 + +我们可以将其等价写为： ```{math} :label: kp_stationary F^*(y) = \int \mathbb P\{ a_{t+1} x + \eta_{t+1} \leq y\} F^*(dx) -\quad \text{对所有 } y \geq 0 +\quad \text{对所有 } y \geq 0 \text{成立 } ``` -左边是当前状态从$F^*$中抽取时下一期状态的分布。 +式子左边是当前状态服从$F^*$时，下一期状态的分布。 -{eq}`kp_stationary`中的等式表明这个分布保持不变。 +{eq}`kp_stationary`这一等式表明这个分布保持不变。 ### 横截面解释 -平稳分布有一个重要的横截面解释，之前已经讨论过但值得在这里重复。 +平稳分布具有重要的横截面解释，之前我们已经讨论过，但仍值得在这里重复。 -假设，例如，我们对财富分布感兴趣 --- 即某个国家当前家庭财富的分布。 +例如，假设我们对财富分布（某个国家当前家庭财富的分布）感兴趣。 -进一步假设： +进一步的假设： -* 每个家庭的财富根据{eq}`wealth_dynam`独立演化， -* $F^*$是这个随机过程的平稳分布，且 -* 有大量家庭。 +* 每个家庭的财富根据{eq}`wealth_dynam`独立演化； +* $F^*$是这个随机过程的平稳分布； +* 存在大量家庭。 -那么$F^*$就是这个国家横截面财富分布的稳态。 +那么，$F^*$就是这个国家横截面财富分布的稳态。 -换句话说，如果$F^*$是当前的财富分布，那么在后续时期它将保持不变，*其他条件不变*。 +换句话说，如果$F^*$是当前的财富分布，则在*其他条件不变*的情况下，其在后续时期将保持这一分布不变。 要理解这一点，假设$F^*$是当前的财富分布。 下一期财富小于$y$的家庭比例是多少？ -为了得到这个，我们对财富明天小于$y$的概率进行求和，给定当前财富为$w$，权重为具有财富$w$的家庭比例。 +为了得到这一比例，我们对明天的财富小于$y$的概率进行求和，给定条件为当前财富为$w$，按拥有财富$w$的家庭比例进行加权。 -注意到具有财富在区间$dw$中的家庭比例是$F^*(dw)$，我们得到： +注意到财富在区间$dw$中的家庭比例是$F^*(dw)$，我们得到： $$ \int \mathbb P\{ R_{t+1} s w + y_{t+1} \leq y\} F^*(dw) $$ -根据平稳性的定义和$F^*$是财富过程的平稳分布的假设，这正好是$F^*(y)$。 +根据平稳性的定义和$F^*$是财富过程的平稳分布的假设，上述积分结果为$F^*(y)$。 -因此，财富在$[0, y]$中的家庭比例在下一期与当前期相同。 +因此，下一期中财富在$[0, y]$内的家庭比例与当前期相同。 -由于$y$是任意选择的，分布保持不变。 +由于$y$是任意选择的，财富分布保持不变。 ### 平稳性条件 Kesten过程$X_{t+1} = a_{t+1} X_t + \eta_{t+1}$并不总是具有平稳分布。 -例如，如果对所有$t$都有$a_t \equiv \eta_t \equiv 1$，那么$X_t = X_0 + t$，它会发散到无穷大。 +例如，如果对所有$t$都有$a_t \equiv \eta_t \equiv 1$，那么$X_t = X_0 + t$，此时序列会发散到无穷大。 -为了防止这种发散，我们要求$\{a_t\}$在大多数时候严格小于1。 +为了防止这种发散，我们要求$\{a_t\}$在大多数情况下严格小于1。 特别地，如果： @@ -252,9 +254,9 @@ Kesten过程$X_{t+1} = a_{t+1} X_t + \eta_{t+1}$并不总是具有平稳分布 那么在$\mathbb R_+$上存在唯一的平稳分布。 -* 参见，例如，{cite}`buraczewski2016stochastic`的定理2.1.3，它提供了稍弱的条件。 +* 参见，例如，{cite}`buraczewski2016stochastic`的定理2.1.3提供了稍弱的条件。 -作为这个结果的一个应用，我们看到，只要劳动收入具有有限均值且$\mathbb E \ln R_t + \ln s < 0$，财富过程{eq}`wealth_dynam`就会有唯一的平稳分布。 +作为这个结果的一个应用，我们看到，只要劳动收入具有有限均值且满足$\mathbb E \ln R_t + \ln s < 0$，财富过程{eq}`wealth_dynam`就会有唯一的平稳分布。 ## 重尾 @@ -262,19 +264,19 @@ Kesten过程$X_{t+1} = a_{t+1} X_t + \eta_{t+1}$并不总是具有平稳分布 （参见我们{doc}`之前关于重尾分布的讲座 `。） -这个事实对经济学很重要，因为帕累托尾分布很普遍。 +这个事实对经济学很重要，因为帕累托尾分布在经济现象中广泛存在。 ### Kesten--Goldie定理 -为了说明Kesten过程的平稳分布具有帕累托尾的条件，我们首先回顾，如果随机变量的分布不集中在$\{\dots, -2t, -t, 0, t, 2t, \ldots \}$上（对任何$t \geq 0$），则称该随机变量为**非算术的**。 +为了说明Kesten过程的平稳分布具有帕累托尾的条件，我们首先回顾，如果随机变量的分布不集中在$\{\dots, -2t, -t, 0, t, 2t, \ldots \}$上（对任意$t \geq 0$），则称该随机变量是**非算术的**。 -例如，任何具有密度的随机变量都是非算术的。 +例如，任何具有密度函数的随机变量都是非算术的。 著名的Kesten--Goldie定理（参见，例如，{cite}`buraczewski2016stochastic`，定理2.4.4）指出，如果： -1. {eq}`kp_stat_cond`中的平稳性条件成立， -1. 随机变量$a_t$以概率1为正且是非算术的， -1. 对所有$x \in \mathbb R_+$有$\mathbb P\{a_t x + \eta_t = x\} < 1$，且 +1. {eq}`kp_stat_cond`中的平稳性条件成立； +1. 随机变量$a_t$几乎必然为正且是非算术的； +1. 对所有$x \in \mathbb R_+$有$\mathbb P\{a_t x + \eta_t = x\} < 1$； 1. 存在正常数$\alpha$使得： $$ @@ -285,7 +287,7 @@ $$ \mathbb E [a_t^{\alpha+1} ] < \infty $$ -那么Kesten过程的平稳分布具有帕累托尾，尾指数为$\alpha$。 +那么Kesten过程的平稳分布具有帕累托尾，尾部指数为$\alpha$。 更精确地说，如果$F^*$是唯一的平稳分布且$X^* \sim F^*$，则： @@ -295,27 +297,27 @@ $$ 其中$c$是某个正常数。 -### 直觉 +### 直觉解释 -稍后我们将使用秩-规模图来说明Kesten--Goldie定理。 +稍后我们将使用秩-规模图来直观展示Kesten--Goldie定理。 -在此之前，我们可以对条件给出以下直觉。 +在此之前，我们可以对定理条件进行以下直觉性解释。 -两个重要条件是$\mathbb E \ln a_t < 0$（所以模型是平稳的）和$\mathbb E a_t^\alpha = 1$（对某个$\alpha > 0$）。 +两个重要条件是$\mathbb E \ln a_t < 0$，即模型是平稳的，以及存在某个$\alpha > 0$使得$\mathbb E a_t^\alpha = 1$。 -第一个条件意味着$a_t$的分布在1以下有大量概率质量。 +第一个条件意味着$a_t$的分布中，大部分概率质量集中在1以下。 -第二个条件意味着$a_t$的分布在1或以上至少有一些概率质量。 +第二个条件意味着$a_t$的分布中，至少有部分概率质量位于1或以上。 -第一个条件给我们平稳性的存在性。 +第一个条件确保平稳分布的存在。 -第二个条件意味着当前状态可以被$a_t$扩大。 +第二个条件意味着当前状态可以被$a_t$放大。 -如果这种情况在几个连续时期发生，效果会相互复合，因为$a_t$是乘性的。 +如果这种情况在连续几个时期发生，那么效果会相互叠加，因为$a_t$是乘性的。 -这导致时间序列中的尖峰，填充分布的极端右尾。 +这导致时间序列中出现尖峰，从而填充分布的极端右尾。 -时间序列中的尖峰在以下模拟中可见，其中当$a_t$和$b_t$是对数正态分布时生成了10条路径： +在以下模拟中可观察到时间序列中的尖峰，该模拟在$a_t$和$b_t$服从对数正态分布时生成了10条路径： ```{code-cell} ipython3 μ = -0.5 @@ -343,17 +345,17 @@ plt.show() ## 应用：企业动态 -正如我们在{doc}`关于重尾的讲座 `中提到的，对于收入或就业等常见的企业规模衡量指标，美国企业规模分布表现出帕累托尾（参见，例如，{cite}`axtell2001zipf`，{cite}`gabaix2016power`）。 +正如我们在{doc}`关于重尾的讲座 `中提到的，对于收入或就业等常见的企业规模衡量指标，美国企业规模分布表现出帕累托尾的特征（参见，例如，{cite}`axtell2001zipf`，{cite}`gabaix2016power`）。 -让我们尝试使用Kesten--Goldie定理来解释这个相当惊人的事实。 +让我们尝试运用Kesten--Goldie定理来解释这个相当惊人的事实。 ### Gibrat定律 -多年前，Robert Gibrat {cite}`gibrat1931inegalites`提出，企业规模按照一个简单的规则演化，即下一期规模与当前规模成比例。 +多年前，Robert Gibrat {cite}`gibrat1931inegalites`提出假设，认为企业规模按照一个简单的规则演化，即下一期规模与当前规模成比例。 -这现在被称为[Gibrat比例增长定律](https://en.wikipedia.org/wiki/Gibrat%27s_law)。 +这一假设现在被称为[Gibrat比例增长定律](https://en.wikipedia.org/wiki/Gibrat%27s_law)。 -我们可以通过说明企业规模的适当衡量指标$s_t$满足以下关系来表达这个想法： +我们可以通过以下方式表达这一观点：企业规模的适当衡量指标$s_t$满足 ```{math} :label: firm_dynam_gb @@ -363,18 +365,18 @@ plt.show() 其中$\{a_t\}$是某个正的独立同分布序列。 -Gibrat定律的一个含义是，个别企业的增长率不依赖于它们的规模。 +Gibrat定律的一个含意是，单个企业的增长率不依赖于它们的规模。 -然而，在过去几十年里，与Gibrat定律相矛盾的研究在文献中积累。 +然而，在过去几十年里，文献中积累了很多与Gibrat定律相矛盾的研究。 例如，通常发现，平均而言： 1. 小企业比大企业增长更快（参见，例如，{cite}`evans1987relationship`和{cite}`hall1987relationship`），且 1. 小企业的增长率比大企业更不稳定{cite}`dunne1989growth`。 -另一方面，Gibrat定律通常被发现对大企业是一个合理的近似{cite}`evans1987relationship`。 +另一方面，研究发现Gibrat定律通常对大企业是一个合理的近似{cite}`evans1987relationship`。 -我们可以通过修改{eq}`firm_dynam_gb`为以下形式来适应这些实证发现： +我们可以通过修改{eq}`firm_dynam_gb`为以下形式来适应这些实证结果： ```{math} :label: firm_dynam @@ -384,7 +386,7 @@ s_{t+1} = a_{t+1} s_t + b_{t+1} 其中$\{a_t\}$和$\{b_t\}$都是独立同分布的，且相互独立。 -在练习中，你被要求证明{eq}`firm_dynam`比{eq}`firm_dynam_gb`中的Gibrat定律更符合上述实证发现。 +在练习中，你需要证明{eq}`firm_dynam`中的Gibrat定律比{eq}`firm_dynam_gb`中的更符合上述实证结果。 ### 重尾 @@ -392,26 +394,26 @@ s_{t+1} = a_{t+1} s_t + b_{t+1} 答案是{eq}`firm_dynam`是一个Kesten过程。 -如果Kesten--Goldie定理的条件满足，那么企业规模分布预计会有重尾 --- 这正是我们在数据中看到的。 +如果Kesten--Goldie定理的条件满足，那么可以预测企业规模分布会呈现重尾特征 --- 这正是我们在数据中看到的。 -在下面的练习中，我们进一步探索这个想法，推广企业规模动态并检查相应的秩-规模图。 +在下面的练习中，我们会进一步探讨这个想法，推广企业规模动态模型并检验相应的秩-规模图。 -我们还试图说明为什么帕累托尾的发现对定量分析很重要。 +我们还将说明为什么帕累托尾的发现对定量分析很重要。 ## 练习 ```{exercise} :label: kp_ex1 -使用{eq}`garch11v`--{eq}`garch11r`中的GARCH(1, 1)过程模拟并绘制15年的日收益率（考虑每年有250个工作日）。 +使用{eq}`garch11v`--{eq}`garch11r`中的GARCH(1, 1)过程模拟并绘制15年的日收益率（假设每年有250个工作日）。 -取$\xi_t$和$\zeta_t$为独立的标准正态分布。 +设$\xi_t$和$\zeta_t$为独立的标准正态分布。 -设置$\alpha_0 = 0.00001, \alpha_1 = 0.1, \beta = 0.9$和$\sigma_0 = 0$。 +设$\alpha_0 = 0.00001, \alpha_1 = 0.1, \beta = 0.9$和$\sigma_0 = 0$。 -与{ref}`上面显示的 `纳斯达克综合指数收益率进行视觉比较。 +与{ref}`上文所示的 `纳斯达克综合指数收益率进行直观对比。 -虽然时间路径不同，但你应该能看到高波动率的爆发。 +虽然时间路径不同，但应能观察到高波动率的爆发。 ``` @@ -419,7 +421,7 @@ s_{t+1} = a_{t+1} s_t + b_{t+1} :class: dropdown ``` -这是一个解决方案： +这是一种解答： ```{code-cell} ipython3 α_0 = 1e-5 @@ -454,9 +456,9 @@ plt.show() ```{exercise} :label: kp_ex2 -在我们对企业动态的讨论中，声称{eq}`firm_dynam`比{eq}`firm_dynam_gb`中的Gibrat定律更符合实证文献。 +在我们关于企业动态的讨论中，认为{eq}`firm_dynam`比{eq}`firm_dynam_gb`中的Gibrat定律更符合实证文献。 -（实证文献在{eq}`firm_dynam`之前立即进行了回顾。） +（实证文献在{eq}`firm_dynam`之前刚刚进行了回顾。） 在什么意义上这是正确的（或错误的）？ ``` @@ -465,16 +467,16 @@ plt.show() :class: dropdown ``` -实证发现是： +实证研究结果是： 1. 小企业比大企业增长更快，且 1. 小企业的增长率比大企业更不稳定。 -此外，Gibrat定律通常被发现对大企业比小企业更合理。 +此外，相比小企业，Gibrat定律通常被发现对于大企业而言是一个合理的近似。 -这个说法是{eq}`firm_dynam`中的动态比Gibrat定律更符合点1-2。 +这个说法是指：{eq}`firm_dynam`中的动态比Gibrat定律更符合要点1-2。 -要理解原因，我们将{eq}`firm_dynam`重写为增长动态： +要理解原因，我们将{eq}`firm_dynam`重写为增长动态的形式： ```{math} :label: firm_dynam_2 @@ -492,9 +494,9 @@ $$ + \frac{\mathbb V b}{s^2} $$ -这两者都随着企业规模$s$的增大而下降，与数据一致。 +这两者都随着企业规模$s$的增大而下降，与数据所显示的一致。 -此外，当$s_t$变大时，运动规律{eq}`firm_dynam_2`显然接近Gibrat定律{eq}`firm_dynam_gb`。 +此外，当$s_t$变大时，动态定律{eq}`firm_dynam_2`显然趋近于Gibrat定律{eq}`firm_dynam_gb`。 ```{solution-end} ``` @@ -502,26 +504,26 @@ $$ ```{exercise} :label: kp_ex3 -考虑{eq}`kesproc`中给出的任意Kesten过程。 +考虑如{eq}`kesproc`中给出的任意Kesten过程。 假设$\{a_t\}$是对数正态分布，参数为$(\mu, \sigma)$。 换句话说，当$Z$是标准正态分布时，每个$a_t$与$\exp(\mu + \sigma Z)$具有相同的分布。 -进一步假设$\mathbb E \eta_t^r < \infty$对所有$r > 0$成立，如果$\eta_t$也是对数正态分布，情况就会如此。 +进一步假设$\mathbb E \eta_t^r < \infty$对所有$r > 0$成立，例如，当$\eta_t$也是对数正态分布时，这一条件成立。 -证明Kesten--Goldie定理的条件满足当且仅当$\mu < 0$。 +证明：当且仅当$\mu < 0$时，Kesten--Goldie定理的条件被满足。 -求出使Kesten--Goldie条件成立的$\alpha$值。 +并求出使Kesten--Goldie条件成立的$\alpha$值。 ``` ```{solution-start} kp_ex3 :class: dropdown ``` -由于$a_t$有密度，它是非算术的。 +因为$a_t$有密度函数，所以它是非算术的。 -由于$a_t$与$a = \exp(\mu + \sigma Z)$具有相同的密度（当$Z$是标准正态分布时），我们有： +由于$a_t$与$a = \exp(\mu + \sigma Z)$具有相同的密度函数（当$Z$是标准正态分布时），我们有： $$ \mathbb E \ln a_t = \mathbb E (\mu + \sigma Z) = \mu, @@ -529,15 +531,15 @@ $$ 且由于$\eta_t$具有所有阶的有限矩，平稳性条件成立当且仅当$\mu < 0$。 -给定对数正态分布的性质（它具有所有阶的有限矩），唯一值得怀疑的条件是存在正常数$\alpha$使得$\mathbb E a_t^\alpha = 1$。 +给定对数正态分布的性质（它具有所有阶的有限矩），唯一需要验证的另一个条件是存在一个正常数$\alpha$，使得$\mathbb E a_t^\alpha = 1$。 -这等价于： +这一条件等价于： $$ \exp \left( \alpha \mu + \frac{\alpha^2 \sigma^2}{2} \right) = 1. $$ -解出$\alpha$得到$\alpha = -2\mu / \sigma^2$。 +解这个方程求出$\alpha$，可得$\alpha = -2\mu / \sigma^2$。 ```{solution-end} ``` @@ -547,15 +549,15 @@ $$ :label: kp_ex4 ``` -{eq}`firm_dynam`中指定的企业动态的一个不现实方面是它忽略了进入和退出。 +在如{eq}`firm_dynam`中所述的企业动态模型中，的一个不现实方面是它忽略了企业的进入和退出。 -在任何给定时期和任何给定市场中，我们观察到大量企业进入和退出市场。 +在任何时期和任何市场中，我们都能观察到大量企业进入和退出市场。 -这个问题的实证讨论可以在Hugo Hopenhayn {cite}`hopenhayn1992entry`的一篇著名论文中找到。 +关于这个问题的实证讨论可以在Hugo Hopenhayn {cite}`hopenhayn1992entry`的一篇著名论文中找到。 -在同一篇论文中，Hopenhayn建立了一个包含企业利润最大化和市场出清数量、工资和价格的进入退出模型。 +在这篇论文中，Hopenhayn构建了一个包含企业利润最大化和市场出清数量、工资及价格的进入退出模型。 -在他的模型中，当进入企业数量等于退出企业数量时，出现平稳均衡。 +在他的模型中，当进入企业数量等于退出企业数量时，便达到了平稳均衡。 在这种背景下，企业动态可以表示为： @@ -569,33 +571,33 @@ s_{t+1} = e_{t+1} \mathbb{1}\{s_t < \bar s\} + 其中： * 状态变量$s_t$代表生产率（这是产出和企业规模的代理变量）， -* 独立同分布序列$\{ e_t \}$被视为新进入企业的生产率抽取，且 -* 变量$\bar s$是一个阈值，我们将其视为给定的，尽管它在Hopenhayn的模型中是内生的。 +* 独立同分布序列$\{ e_t \}$被视为新进入企业的生产率抽取值，且 +* 变量$\bar s$是一个被视为给定的阈值，尽管它在Hopenhayn的模型中是内生的。 -{eq}`firm_dynam_ee`背后的思想是，只要企业的生产率$s_t$保持在$\bar s$或以上，它们就留在市场中。 +{eq}`firm_dynam_ee`背后的思想是，只要企业的生产率$s_t$保持在$\bar s$或在$\bar s$以上，这些企业就可以留在市场中。 * 在这种情况下，它们的生产率根据{eq}`firm_dynam`更新。 -当企业的生产率$s_t$低于$\bar s$时，它们选择退出。 +当企业的生产率$s_t$低于$\bar s$时，企业会选择退出。 * 在这种情况下，它们被生产率$e_{t+1}$的新企业替代。 -我们能对动态说些什么？ +关于动态特性我们能得出什么结论？ 虽然{eq}`firm_dynam_ee`不是Kesten过程，但当$s_t$很大时，它的更新方式与Kesten过程相同。 -那么也许它的平稳分布仍然有帕累托尾？ +所以，也许它的平稳分布仍然有帕累托尾？ 你的任务是通过模拟和秩-规模图来研究这个问题。 -方法将是： +方法是： -1. 当$M$和$T$很大时生成$M$个$s_T$的抽取，且 -1. 在秩-规模图中绘制结果中最大的1,000个抽取。 +1. 当$M$和$T$很大时，生成$M$个$s_T$的抽取样本； +1. 将结果中最大的1,000个抽取样本绘制成秩-规模图。 -（当$T$很大时，$s_T$的分布将接近平稳分布。） +（当$T$很大时，$s_T$的分布将接近于平稳分布。） -在模拟中，假设： +在这个模拟中，假设： * $a_t, b_t$和$e_t$都是对数正态分布， * 参数为： @@ -608,7 +610,7 @@ s_{t+1} = e_{t+1} \mathbb{1}\{s_t < \bar s\} + μ_e = 0.0 # e的位置参数 σ_e = 0.5 # e的尺度参数 s_bar = 1.0 # 阈值 -T = 500 # 采样日期 +T = 500 # 抽样日期 M = 1_000_000 # 企业数量 s_init = 1.0 # 每个企业的初始条件 ``` @@ -620,8 +622,8 @@ s_init = 1.0 # 每个企业的初始条件 :class: dropdown ``` -这是一个解决方案。 -首先我们生成观测值： +这是一种答案。 +首先生成观测值： ```{code-cell} ipython3 from numba import jit, prange @@ -658,7 +660,7 @@ def generate_draws(μ_a=-0.5, data = generate_draws() ``` -现在我们来生成秩-规模图： +现在来生成秩-规模图： ```{code-cell} ipython3 fig, ax = plt.subplots() @@ -671,7 +673,7 @@ ax.set_ylabel("对数规模") plt.show() ``` -该图产生一条直线，与帕累托尾一致。 +该图呈现出一条直线，符合帕累托尾的特性。 ```{solution-end} -``` \ No newline at end of file +``` From 21bab30a7c4e29a0111e42bec75b4f1d3946dc82 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Humphrey Yang Date: Thu, 22 May 2025 14:53:38 +1000 Subject: [PATCH 2/2] minor updates --- lectures/kesten_processes.md | 18 +++++++++--------- 1 file changed, 9 insertions(+), 9 deletions(-) diff --git a/lectures/kesten_processes.md b/lectures/kesten_processes.md index 4460aad3..1adadd05 100644 --- a/lectures/kesten_processes.md +++ b/lectures/kesten_processes.md @@ -40,14 +40,14 @@ tags: [hide-output] {doc}`之前 ` 我们学习了线性标量值随机过程（AR(1)模型）。 -现在，我们通过允许乘法系数具有随机性，对这些线性模型进行轻微推广。 +现在，我们将进一步推广这些线性模型，允许乘法系数具有随机性。 这些过程被称为Kesten过程，以德裔美国数学家Harry Kesten（1931-2019）的名字命名。 -尽管写起来很简单，但Kesten过程之所以很有趣，至少有两个原因： +虽然Kesten过程的数学形式看起来很简单，但它们在经济学中非常重要，主要有两个原因： -1. 许多重要的经济过程可以或已经被描述为Kesten过程。 -1. Kesten过程能够产生有趣的动态特性，在某些情况下可以生成具有重尾特征的横截面分布。 +1. 很多关键的经济过程可以用Kesten过程来描述。 +2. Kesten过程能够产生复杂的动态行为，尤其是在某些条件下，它们可以生成带有"重尾"特征的横截面分布，这与我们在现实经济数据中观察到的情况相符。 我们接下来会讨论这些问题。 @@ -72,7 +72,7 @@ from pandas.plotting import register_matplotlib_converters register_matplotlib_converters() ``` -与本讲座相关的额外技术背景可以在{cite}`buraczewski2016stochastic`的专著中找到。 +关于本讲座的更多技术细节，读者可以参考{cite}`buraczewski2016stochastic`这本专著。 ## Kesten过程 @@ -299,7 +299,7 @@ $$ ### 直觉解释 -稍后我们将使用秩-规模图来直观展示Kesten--Goldie定理。 +稍后我们将通过绘秩-规模图来直观地验证Kesten--Goldie定理的结论。 在此之前，我们可以对定理条件进行以下直觉性解释。 @@ -347,7 +347,7 @@ plt.show() 正如我们在{doc}`关于重尾的讲座 `中提到的，对于收入或就业等常见的企业规模衡量指标，美国企业规模分布表现出帕累托尾的特征（参见，例如，{cite}`axtell2001zipf`，{cite}`gabaix2016power`）。 -让我们尝试运用Kesten--Goldie定理来解释这个相当惊人的事实。 +让我们尝试运用Kesten--Goldie定理来解释这个相当有趣的事实。 ### Gibrat定律 @@ -571,7 +571,7 @@ s_{t+1} = e_{t+1} \mathbb{1}\{s_t < \bar s\} + 其中： * 状态变量$s_t$代表生产率（这是产出和企业规模的代理变量）， -* 独立同分布序列$\{ e_t \}$被视为新进入企业的生产率抽取值，且 +* 独立同分布序列$\{ e_t \}$被视为新进入企业的生产率样本值，且 * 变量$\bar s$是一个被视为给定的阈值，尽管它在Hopenhayn的模型中是内生的。 {eq}`firm_dynam_ee`背后的思想是，只要企业的生产率$s_t$保持在$\bar s$或在$\bar s$以上，这些企业就可以留在市场中。 @@ -592,7 +592,7 @@ s_{t+1} = e_{t+1} \mathbb{1}\{s_t < \bar s\} + 方法是： -1. 当$M$和$T$很大时，生成$M$个$s_T$的抽取样本； +1. 选定很大的$M$和$T$，生成$M$个$s_T$的抽取样本； 1. 将结果中最大的1,000个抽取样本绘制成秩-规模图。 （当$T$很大时，$s_T$的分布将接近于平稳分布。）