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Permutation Sequence

描述

The set [1,2,3,…,n] contains a total of n! unique permutations.

By listing and labeling all of the permutations in order, We get the following sequence (ie, for n = 3):

"123"
"132"
"213"
"231"
"312"
"321"

Given n and k, return the kth permutation sequence.

Note: Given n will be between 1 and 9 inclusive.

分析

首先可以想到一个简单直白的方法，即调用 k-1 次 next_permutation()，从而得到第k个排列。这个方法把前k个排列全部求出来了，比较浪费，时间复杂度是 O(kn)，所以会超时。有没有办法直接求第k个排列呢？有！

利用康托编码的思路，假设有n个不重复的元素，第k个排列是$$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$$，那么$$a_1$$是哪一个位置呢？

我们把$$a_1$$去掉，那么剩下的排列为 $$a_2, a_3, ..., a_n$$, 共计n-1个元素，n-1个元素共有(n-1)!个排列，于是就可以知道 $$a_1 = k / (n-1)!$$。

同理，$$a_2, a_3, ..., a_n$$ 的值推导如下：

$$k_2 = k%(n-1)!$$

$$a_2 = k_2/(n-2)!$$

$$\quad \cdots$$

$$k_{n-1} = k_{n-2}%2!$$

$$a_{n-1} = k_{n-1}/1!$$

$$a_n = 0$$

康托编码

{% codesnippet "./code/permutation-sequence."+book.suffix, language=book.suffix %}{% endcodesnippet %}

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