From 56aee0a2afcdc24877e9e791c2b36950530cef64 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: myoshizumi Date: Thu, 4 Dec 2025 08:10:24 +0900 Subject: [PATCH] Math: Hacker Rank Number Theory Constructing a Number --- .../Number Theory/Constructing_a_Number.ipynb | 354 ++++++++++++++++++ 1 file changed, 354 insertions(+) create mode 100644 Mathematics/Number Theory/Constructing_a_Number.ipynb diff --git a/Mathematics/Number Theory/Constructing_a_Number.ipynb b/Mathematics/Number Theory/Constructing_a_Number.ipynb new file mode 100644 index 00000000..4611adb7 --- /dev/null +++ b/Mathematics/Number Theory/Constructing_a_Number.ipynb @@ -0,0 +1,354 @@ +{ + "cells": [ + { + "cell_type": "markdown", + "id": "97dc61cc", + "metadata": {}, + "source": [ + "まず結論から言うと、この問題は「すべての数字の **各桁の合計** が 3 で割り切れるかどうか」だけ見れば解けます。\n", + "\n", + "---\n", + "\n", + "## 1. 問題分析結果\n", + "\n", + "### 本質\n", + "\n", + "* 3 の倍数の判定条件：\n", + "\n", + " * ある整数が 3 で割り切れるかどうかは、「その数の **全ての桁の和** が 3 で割り切れるかどうか」で決まる。\n", + "* 桁を並べ替えても、使う桁の集合（マルチセット）が同じなら、**桁の和は不変**。\n", + "* この問題では、\n", + "\n", + " * 「与えられた整数列の **すべての桁を一度ずつ** 使う」\n", + " * 「並べ替え自由（順番は自由）」\n", + " * 「先頭が 0 でもよい」\n", + "* 従って、\n", + "\n", + " * 各整数の「桁の和」を全て足し合わせ、\n", + " * その合計が `sum_digits % 3 == 0` であれば「Yes」、そうでなければ「No」。\n", + "\n", + "### 制約・実装方針\n", + "\n", + "* クエリ数 Q が複数あるが、HackerRank 側の `main` が\n", + "\n", + " * 各クエリごとに `canConstruct(a: List[int]) -> str` を呼び出す形になる想定。\n", + "* 我々は `canConstruct` だけ正しく実装すればよい（入出力は書かない）。\n", + "* 合計桁数を D とすると、必要なのは **O(D)** で各桁を一度ずつ見るだけでよい。\n", + "\n", + "---\n", + "\n", + "## 2. アルゴリズム比較表\n", + "\n", + "| アプローチ | 内容 | 時間計算量 | 空間計算量 | Python実装コスト | 可読性 | 標準ライブラリ活用 | CPython最適化観点 | 備考 |\n", + "| ----- | -------------------------------------------------------- | ----- | ------------------------- | ----------- | --- | ------------ | ------------------------- | -------------- |\n", + "| 方法A | 数値 → 文字列変換して各文字を桁として扱い、`int(ch)` を加算 | O(D) | O(1) 追加だが、一時的な文字列オブジェクトあり | 低 | ★★★ | `str`, イテレータ | 文字列処理は C 実装で高速 | 一番読みやすい |\n", + "| 方法B | 各整数について `while x > 0: sum += x % 10; x //= 10` で直接桁を取り出す | O(D) | O(1) | 中 | ★★☆ | - | 整数演算も C 実装だが Python ループ多め | 文字列生成を避けたい場合向き |\n", + "\n", + "* どちらも漸近計算量は同じ O(D) ですが、\n", + "\n", + " * **業務開発視点**では「方法A（文字列ベース）」の方が読みやすくバグりにくい。\n", + " * **競技プログラミング視点**では「方法B（算術ベース）」も十分シンプルで、文字列生成を避けられます。\n", + "\n", + "ここではテンプレートに合わせて、\n", + "\n", + "* `solve_production` では **可読性重視の方法A（文字列ベース）**\n", + "* `solve_competitive` では **ループ最小限の方法B（算術ベース）**\n", + "\n", + "という二枚看板にしておきます。\n", + "\n", + "---\n", + "\n", + "## 3. 採用アルゴリズムと根拠\n", + "\n", + "### アルゴリズム\n", + "\n", + "1. 配列 `a: List[int]` を受け取る。\n", + "2. すべての整数について、その **10 進表記の各桁の合計** を求める。\n", + "3. 全部足して `digit_sum` とする。\n", + "4. `digit_sum % 3 == 0` なら `\"Yes\"`、そうでなければ `\"No\"` を返す。\n", + "\n", + "### 選択理由\n", + "\n", + "* 3 の倍数判定の性質により、**状態を保持する必要がなく**、桁和だけ見ればよい。\n", + "* 並べ替え自由・先頭ゼロ許容なので、「実際に数を構成する」必要もない。\n", + "* メモリ使用量は O(1)（桁和だけ保持）で、クエリごとに一回スキャンすればよい。\n", + "* Python では\n", + "\n", + " * `str(x)` とループ、あるいは\n", + " * 割り算・剰余演算\n", + " がどちらも C レベルで最適化されており、問題の想定制約なら十分高速。\n", + "\n", + "### トレードオフ\n", + "\n", + "* 「速度ガチ全振り」なら方法B一択でもよいが、コードは多少冗長。\n", + "* 業務コードとしては、バグリスクを下げるために方法Aの方がよく、テンプレートの `solve_production` に採用。\n", + "* HackerRank のエントリ関数 `canConstruct` では、競技プログラミング寄りということで `solve_competitive` を呼び出します。\n", + "\n", + "---\n", + "\n", + "## 4. 検証方針（テスト観点）\n", + "\n", + "※ 実際にテストコードは書きませんが、想定テストは以下のようなものです。\n", + "\n", + "1. 単一要素\n", + "\n", + " * `[0]` → 桁和 0 → `\"Yes\"`\n", + " * `[3]` → 桁和 3 → `\"Yes\"`\n", + " * `[4]` → 桁和 4 → `\"No\"`\n", + "2. 複数要素で並べ替えが効く例\n", + "\n", + " * `[10, 20]` → 桁: 1,0,2,0 → 合計 3 → `\"Yes\"`\n", + " * `[1, 2]` → 桁: 1,2 → 合計 3 → `\"Yes\"`（`21` 等を構成可能）\n", + " * `[11, 11]` → 桁: 1,1,1,1 → 合計 4 → `\"No\"`\n", + "3. サンプルに相当するケース\n", + "\n", + " * 問題文の 3 クエリ分をそのまま入れて `\"Yes\"`, `\"Yes\"`, `\"No\"` が返ること。\n", + "4. 境界値\n", + "\n", + " * 非常に大きい桁数の整数（例えば 10^100 など）を含む配列。\n", + " * `a` の長さが最大制約付近のケース。\n", + "5. エラー系（業務向け）\n", + "\n", + " * 負数が混ざる、int 以外が混ざる、空リストなど → `solve_production` では例外を投げる。\n", + "\n", + "---\n", + "\n", + "## 5. 実装（HackerRank 向け / 関数形式のみ）\n", + "\n", + "HackerRank 側のスタブから呼ばれることを想定して、**I/O は一切書かず**、`canConstruct` 関数だけをエントリポイントにしています。\n", + "型注釈は Pylance を意識して付与しています。\n", + "\n", + "```python\n", + "from typing import List, Iterable, Any\n", + "\n", + "YES: str = \"Yes\"\n", + "NO: str = \"No\"\n", + "\n", + "\n", + "def canConstruct(a: List[int]) -> str:\n", + " \"\"\"\n", + " HackerRank から呼ばれるエントリポイント。\n", + " クエリごとに 1 回呼ばれ、与えられた整数配列 a の桁を全て用いて\n", + " 3 で割り切れる数を構成できるかどうかを判定する。\n", + "\n", + " Args:\n", + " a: 非負整数のリスト\n", + "\n", + " Returns:\n", + " \"Yes\" または \"No\"\n", + " \"\"\"\n", + " # 競技プログラミング向け・性能優先の実装を利用\n", + " return solve_competitive(a)\n", + "\n", + "\n", + "# =========================\n", + "# 業務開発向け 実装\n", + "# =========================\n", + "\n", + "def solve_production(input_data: List[int]) -> str:\n", + " \"\"\"\n", + " 業務開発向け実装（型安全・エラーハンドリング重視）\n", + "\n", + " Args:\n", + " input_data: 非負整数リスト\n", + "\n", + " Returns:\n", + " \"Yes\" または \"No\"\n", + "\n", + " Raises:\n", + " ValueError: 入力値が制約を満たさない場合\n", + " TypeError: 入力型が不正な場合\n", + " \"\"\"\n", + " _validate_input(input_data)\n", + "\n", + " if _is_edge_case(input_data):\n", + " return _handle_edge_case(input_data)\n", + "\n", + " digit_sum: int = _sum_digits_str_based(input_data)\n", + " return YES if (digit_sum % 3 == 0) else NO\n", + "\n", + "\n", + "# =========================\n", + "# 競技プログラミング向け 実装\n", + "# =========================\n", + "\n", + "def solve_competitive(input_data: List[int]) -> str:\n", + " \"\"\"\n", + " 競技プログラミング向け実装。\n", + " エラーハンドリングを省略し、性能を優先する。\n", + "\n", + " Time Complexity:\n", + " O(D) (D は全ての整数の桁数の合計)\n", + " Space Complexity:\n", + " O(1) 追加メモリは桁和のみ\n", + " \"\"\"\n", + " digit_sum: int = _sum_digits_arithmetic(input_data)\n", + " return YES if (digit_sum % 3 == 0) else NO\n", + "\n", + "\n", + "# =========================\n", + "# 共通ヘルパー\n", + "# =========================\n", + "\n", + "def _validate_input(data: Any) -> None:\n", + " \"\"\"\n", + " 業務開発向けの防御的バリデーション。\n", + " HackerRank 環境では想定通りの入力が来る前提だが、\n", + " ライブラリとして再利用することも考えて型・値をチェックする。\n", + " \"\"\"\n", + " if not isinstance(data, list):\n", + " raise TypeError(\"Input must be a list of integers\")\n", + "\n", + " if not data:\n", + " raise ValueError(\"Input list cannot be empty\")\n", + "\n", + " for x in data:\n", + " if not isinstance(x, int):\n", + " raise TypeError(\"All elements must be integers\")\n", + " if x < 0:\n", + " raise ValueError(\"All elements must be non-negative\")\n", + "\n", + "\n", + "def _is_edge_case(data: List[int]) -> bool:\n", + " \"\"\"\n", + " エッジケース判定。\n", + " 今回はシンプルに「要素数 1」の場合を特別扱い。\n", + " \"\"\"\n", + " return len(data) == 1\n", + "\n", + "\n", + "def _handle_edge_case(data: List[int]) -> str:\n", + " \"\"\"\n", + " 単一要素のみのときの早期判定。\n", + " \"\"\"\n", + " only: int = data[0]\n", + " # 直接 3 で割るのではなく、桁和で判定する実装に揃えておく。\n", + " # （仕様変更で「別の基準の倍数」に変わっても差し替えが容易。）\n", + " digit_sum: int = _sum_digits_arithmetic([only])\n", + " return YES if (digit_sum % 3 == 0) else NO\n", + "\n", + "\n", + "def _sum_digits_str_based(numbers: Iterable[int]) -> int:\n", + " \"\"\"\n", + " 文字列変換ベースの桁和計算（業務コード向け・可読性重視）。\n", + " \"\"\"\n", + " total: int = 0\n", + " for value in numbers:\n", + " # str(value) は C 実装で高速、桁数分の文字列を一度だけ生成\n", + " for ch in str(value):\n", + " total += ord(ch) - ord(\"0\")\n", + " return total\n", + "\n", + "\n", + "def _sum_digits_arithmetic(numbers: Iterable[int]) -> int:\n", + " \"\"\"\n", + " 算術演算ベースの桁和計算（競技向け・追加オブジェクト削減）。\n", + "\n", + " 0 の扱い:\n", + " 0 の桁和は 0 なので、単純にスキップしても問題ない。\n", + " （全て 0 のときは合計 0 → 3 で割り切れる）\n", + " \"\"\"\n", + " total: int = 0\n", + " for value in numbers:\n", + " x: int = value\n", + " if x == 0:\n", + " # 0 の桁和は 0 なので何もしない\n", + " continue\n", + " while x > 0:\n", + " total += x % 10\n", + " x //= 10\n", + " return total\n", + "```\n", + "\n", + "このまま HackerRank の関数実装部分に貼り付ければ動作する想定です（スタブ側で `canConstruct` が呼ばれる前提）。もし実際の stub のシグネチャが異なっていたら、その関数名・引数名にだけ合わせてください。アルゴリズム自体はそのまま流用できます。\n", + "\n", + "```python\n", + "#!/bin/python3\n", + "\n", + "import math\n", + "import os\n", + "import random\n", + "import re\n", + "import sys\n", + "from typing import List, Iterable, Any\n", + "\n", + "YES: str = \"Yes\"\n", + "NO: str = \"No\"\n", + "#\n", + "# Complete the 'canConstruct' function below.\n", + "#\n", + "# The function is expected to return a STRING.\n", + "# The function accepts INTEGER_ARRAY a as parameter.\n", + "#\n", + "\n", + "def canConstruct(a: List[int]) -> str:\n", + " # Return \"Yes\" or \"No\" denoting whether you can construct the required number.\n", + " #\n", + " # ポイント:\n", + " # ・3 の倍数判定は「全桁の和 % 3 == 0」で決まる\n", + " # ・桁の並べ替えや先頭 0 は自由なので、桁の和だけ見ればよい\n", + "\n", + " digit_sum: int = 0\n", + "\n", + " for value in a:\n", + " x: int = value\n", + " if x == 0:\n", + " # 0 の桁和は 0 なのでスキップでよい\n", + " continue\n", + " # 各整数の桁和を算術演算で求める\n", + " while x > 0:\n", + " digit_sum += x % 10\n", + " x //= 10\n", + "\n", + " return YES if (digit_sum % 3 == 0) else NO\n", + "\n", + "\n", + "if __name__ == '__main__':\n", + " fptr = open(os.environ['OUTPUT_PATH'], 'w')\n", + "\n", + " t = int(input().strip())\n", + "\n", + " for t_itr in range(t):\n", + " n = int(input().strip())\n", + "\n", + " a = list(map(int, input().rstrip().split()))\n", + "\n", + " result = canConstruct(a)\n", + "\n", + " fptr.write(result + '\\n')\n", + "\n", + " fptr.close()\n", + "```" + ] + }, + { + "cell_type": "code", + "execution_count": null, + "id": "36f18572", + "metadata": {}, + "outputs": [], + "source": [] + } + ], + "metadata": { + "kernelspec": { + "display_name": ".venv", + "language": "python", + "name": "python3" + }, + "language_info": { + "codemirror_mode": { + "name": "ipython", + "version": 3 + }, + "file_extension": ".py", + "mimetype": "text/x-python", + "name": "python", + "nbconvert_exporter": "python", + "pygments_lexer": "ipython3", + "version": "3.12.4" + } + }, + "nbformat": 4, + "nbformat_minor": 5 +}