Model definition

Author: shd

conspect.pdf

@@ -2,7 +2,7 @@ \section{Исчисление высказываний}
 
 Матлогика --- это наука о правильных математических рассуждениях, а поскольку
 рассуждения обычно ведутся на каком-то языке, то она неразрывна связана с идеей
-двух языков: \emph{языка исследователя} (или иначе его называют \emph{мета-языком}),
+двух языков: \emph{языка исследователя} (или иначе его называют \emph{метаязыком}),
 и \emph{предметного языка}. Как следует из названий, языком исследователя 
 пользуемся мы, формулируя утверждения или доказывая теоремы о разных способах
 математических рассуждений, или просто их обсуждая. Сами же математические рассуждения,
@@ -28,10 +28,11 @@ \section{Исчисление высказываний}
 
 Также в языке можно использовать скобки вокруг выражений:
 если $\alpha$ --- высказывание, то $(\alpha)$ --- тоже высказывание.
-Если из расстановки скобок не следует иное, мы пользуемся их приоритетом
+Если из расстановки скобок не следует иное, мы будем учитывать приоритет связок
 (связки в перечислении выше указаны в порядке убывания приоритета).
-Также, конъюнкцию и дизъюнкцию мы будем считать левоассоциативной, 
-а импликацию --- правоассоциативной. 
+Также, конъюнкцию и дизъюнкцию мы будем считать левоассоциативной (скобки в цепочке
+одинаковых связок расставляются слева направо: $(A \vee B) \vee C$), 
+а импликацию --- правоассоциативной: $A \rightarrow (B \rightarrow C)$). 
 
 Высказывания, подробности
 которых нас не интересуют, мы будем обозначать начальными буквами 
@@ -60,37 +61,36 @@ \subsection{Оценка высказываний}
 значение, а затем рекурсивно вычисляем значение выражения естественным для указанных
 связок образом.
 
-\begin{definition}
-Функцию, приписывающую истинностное значение пропозициональным переменным, мы назовём 
-\emph{интерпретацией} или \emph{моделью}. Функцию, сопоставляющую высказыванию
-и его интерпретации истинностное значение, мы назовём \emph{оценкой} высказывания.
-Если в некоторой модели некоторое высказывание истинно, мы будем говорить, что
-данная модель есть \emph{модель данного высказывания}.
-\end{definition}
-
-Оценку высказываний мы будем записывать с помощью двойных квадратных скобок. Например,
-нетрудно видеть, что $\llbracket P \rightarrow P \rrbracket = \texttt{И}$.
-Если нам требуется явно задать значения некоторых пропозициональных переменных, мы будем
-записывать эти значения как верхний индекс: $\llbracket P \rightarrow Q \rrbracket ^ {P:=\texttt{Л}} = \texttt{И}$.
-
-Среди высказываний выделяются те, что остаются истинными при любой оценке пропозициональных
-переменных (то есть, в любой модели). Такие высказывания называют \emph{тавтологиями} или 
-\emph{общезначимыми высказываниями}.
-Также, на языке исследователя общезначимость высказывания $\alpha$ можно кратко 
+Пусть $P$ --- множество пропозициональных переменных языка.
+Тогда функцию $M: P \rightarrow V$, приписывающую истинностное 
+значение пропозициональным переменным, мы назовём \emph{моделью} 
+(иначе: \emph{интерпретацией} или \emph{оценкой} переменных). 
+
+Функцию, сопоставляющую высказыванию $\alpha$ и модели $M$
+истинностное значение, мы назовём \emph{оценкой} высказывания и
+будем это записывать так: $\llbracket \alpha \rrbracket ^ M$.
+Обычно для указания модели $M$ мы будем перечислять значения
+пропозициональных переменных, входящих в формулу:
+$\llbracket P \rightarrow Q \rrbracket ^ {P:=\texttt{Л}, Q:=\texttt{И}} = \texttt{И}$.
+Если конкретная модель ясна из контекста или несущественна для изложения,
+мы можем указание на модель опустить: $\llbracket P \rightarrow P \rrbracket = \texttt{И}$
+
+Если $\llbracket \alpha \rrbracket ^ M = \texttt{И}$, то мы будем 
+говорить, что высказывание $\alpha$ истинно в модели $M$, или, иными словами,
+\emph{$M$ --- модель высказывания $\alpha$}.
+
+\emph{Тавтологией} или 
+\emph{общезначимым высказыванием} мы назовём высказывание, истинное в любой модели.
+На языке исследователя общезначимость высказывания $\alpha$ можно кратко 
 записать как $\models \alpha$. 
 
-В дальнейшем мы будем брать необычные множества истинностных значений, и будем давать
-неожиданный смысл связкам, однако, классическая интерпретация связок всегда будет
-подразумеваться, если не указано иного.
-
-Функцию, приписывающую значения пропозициональным перменным, мы назовём \emph{интерпретацией}
-(или, иначе \emph{моделью}). Если на данной модели некоторое высказывание истинно, мы
-будем говорить, что эта модель является моделью высказывания.
-
-
-В дальнейшем мы будем брать необычные множества истинностных значений, и будем давать
-неожиданный смысл связкам, однако, классическая интерпретация связок всегда будет
-подразумеваться, если не указано иного.
+Указанный способ оценки высказываний мы будем называть классическим.
+В дальнейшем мы будем брать необычные множества истинностных значений и будем давать
+неожиданный смысл связкам, однако, классический способ будет всегда подразумеваться, 
+если не указано иного. Если же мы захотим сделать на этом акцент, мы будем говорить
+о \emph{классических моделях исчисления высказываний}, подразумевая, что
+если мы приписываем переменным классические значения истина и ложь, 
+то и высказывание целиком мы оцениваем тоже по классическим правилам.
 
 \subsection{Доказательства}